تبليغاتX

سلام خوش آمدید دانشجویان ریاضی کرمان

دانشجویان ریاضی کرمان
تئوری اعداد
 




تئوری اعداد



تئوری اعداد number theory شاخه ای از ریاضیات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد. مثلاً به سرفصل های تئوری اعداد مراجعه نمایید .



  • تئوری تحلیلی اعداد Analytic number theory ازحسابانcalculus و آنالیز مختلطcomplex analysis برای مطالعه‌ی اعداد صحیح استفاه می کند و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند که در تئوری مقدماتی اعداد بررسی و بحث در مورد آن بسیار دشوار به نظر می‌رسد . قضیه ی اعداد اولprime number theorem و فرضیه ریمان Riemann hypothesis مثال هایی از آن هستند . مسئله ی وارینگ Waring’s problem ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ،انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture(که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخGoldbach’s conjecture ( که عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالی بودن transcendence ثابت های ریاضی ، مانند e و پی در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e و پی به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine aproximation ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا rational تقریب زد ؟

  • تئوری جبری اعداد ، مفهوم عدد را به اعداد جبری algebraic numbers که همان ریشه های چند جمله ایها با ضرایب گویا rational coefficient هستند گسترش می‌دهد.در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام اعداد صحیح جبری algebraic integers وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند تجزیه یکتا the unique factorization) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory ، میدان همانستگی field cohomology ، تئوری رده ی میدان class field theory ، نمایش گروه ها group representations و L-تابع‌ها L-functions این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p برای کلیه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به میدانهای متناهی finite fields مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization می گویند که به ساختمان اعداد p ادیک p-adic numbers می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local analysis می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود .

  • تئوری ترکیبیاتی اعداد به بررسی ، مطالعه و حل مساله‌های تئوری اعداد با استفاده از تکنیک‌های ترکیبیاتی می‌پردازد. پل اردوش کارهای بزرگی در این زمینه انجام داد. روش‌های جبری و تحلیلی در این شاخه از تئوری اعداد کاربرد فراوان دارند.

  • تئوری هندسی اعداد همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از قضیه ی مینکوسکی Minkowski’s theorem در ارتباط با نقاط مشبکه lattice points در مجموعه های محدب convex sets و جستجو در بسته بندی کره ها sphere packings شروع می شود .هندسه جبری بخصوص خم‌های بیضویelliptic curves نیز به کار می آیند .این تکنیک‌ها در اثبات آخرین قضیه معروف فرما Fermat’s last theorem تاثیر فراوان داشته اند .

  • تئوری محاسباتی اعداد computational number theory به الگوریتم های تئوری اعداد می پردازد والگوریتم های سریع برای امتحان اعداد اول prime testing و تجزیه اعداد صحیح integer factorization در مبحث کریپتوگرافی cryptography کاربرد های مهمی دارند .

.





تاریخچه تئوری اعداد

بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، باشه دو مزیریاکBachet de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولرEuler و لاگرانژ Lagrangeبه قضیه پرداختند و در همین مواقع لژاندر Legendre و گاوسGauss به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitiones Arithmeticæ حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .

چبیشفChebyshev کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند . (قضیه ی عدد اول prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صریح تئوری اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت .
تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :
(mod(c

چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر قانون تقابل درجه ی دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت . این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در تئوری اعداد Théorie des Nombres برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریکله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie او یک مقاله ی کلاسیک است) ؛ ژاکوبی Jacobi که علامت ژاکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد ؛ لیوویلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می شود. نمایش اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است . کوشی ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاین Eisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و تئوری فرمها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد
2 نوشته شده در  سه شنبه بیستم دی 1384ساعت 19:29  توسط علیرضا.م | 
سال نو
سال نو میلادی را به همه ریاضیدانان تبریک عرض می کنم

 **      کريسمس مبارک     ** 

فردا روز اول ژانويه است بالاخره سال ۲۰۰۶هم اومد اين عيد رو به همه  تبريک می گم و اميدوارم برای همه سال خوبی باشه

                            کریسمس مبارک

                                                                                

                           کریسمس مبارک
2 نوشته شده در  شنبه دهم دی 1384ساعت 21:11  توسط علیرضا.م | 
چرا رياضيات مي خوانيم؟
و این هم مطلبی از نشریه گالوا
چرا رياضيات مي خوانيم؟
چرا بايد رياضيات بخوانيم؟راجر بيكن، فيلسوف انگليسي در سال 1267 ميلادي پاسخ اين سوال را اين چنين داده است: «كسي كه اين كار را نكند نمي تواند چيزي از بقيه علوم و هر آن چه در اين جهان هست بفهمد . . . چيزي كه بدتر است اين است كه كساني كه رياضيات نمي دانند به جهالت خودشان پي نمي برند و در نتيجه در پي چاره جويي برنمي آيند.» مي توانم همين جا سخن را پايان دهم اما ممكن است بعضي ها فكر كنند كه شايد خيلي چيزها در هفت قرن گذشته تغيير كرده باشد.
شاهدي تازه مي آورم، پال ديراك از خالقان مكانيك كوانتومي، معتقد است كه وقتي تئوري فيزيكي اي را پايه ريزي مي كنيد نبايد به هيچ شهود فيزيكي اعتماد كنيد. پس به چه چيزي اعتماد كنيد؟ به گفته اين فيزيكدان مشهور، فقط به برنامه اي متكي بر رياضيات ولو اين كه در نگاه اول ربطي به فيزيك نداشته باشد.در حقيقت، در فيزيك تمامي ايده هاي صرفا فيزيكي رايج در ابتداي اين قرن كنار گذاشته اند در حالي كه الگوهاي رياضي اي كه به زرادخانه هاي فيزيكدان ها راه يافته اند به تدريج معناي فيزيكي يافته اند. در اين جاست كه قابل اعتماد بودن رياضيات به روشني رخ مي نماياند. بنابراين الگو سازي رياضي روشي پربار براي شناخت در علوم طبيعي است .
موريس كلاين مي نويسد: يوناني هاي قديم واقعيت هاي دنياي اطراف خود را با علم رياضيات منطبق مي ديدند و حقيقت نمايي طرح كيهان را در رياضيات مي يافتند. آن ها بين قانون هاي طبيعت و قانون هاي رياضي شباهت هايي را احساس مي كردند كه اكنون يكي از پايه هاي اساسي علوم را تشكيل مي دهد. بعدها يوناني ها در شناخت طبيعت پيشتر رفتند و اعتقاد استواري پيدا كردند كه جهان بر اساس قانون هاي رياضي طراحي شده و دستگاه كنترل شده اي است، از قانون هايي پيروي مي كند و براي بشر قابل درك است.
دست آخر اين كه رياضيات موسيقي ذهن است پس بايد آن را نواخت.
2 نوشته شده در  شنبه دهم دی 1384ساعت 21:0  توسط علیرضا.م | 
کاش

كاش مختصات كردارمان روي ربع اول همان طور مي ماند و به سمت ربع هاي ديگر نمي رفتيم .

كاش تابع تمامي اعمال خوبمان اكيدا صعودي باشد تا به مقصد برسيم .

كاش تابع گناهانمان نزولي باشد تا در يك جايي بالاخره پايان پذيرد .

كاش لااقل تابع گناهانمان اين قدر پيوسته نباشد و حد اشتباهاتمان به بي نهايت ميل نكند.

كاش از سخن هاي بيهوده و اعمال مكروهه كه فراوان هم هستند جذر مي گرفتيم.

كاش دنيا با تمام دلخوشي هايش در نظرمان نقطه اي تو خالي باشد و بس.

كاش انتگرال هاي بي حرمتي هايمان در محضر درست، توبه باشد.

كاش بتوانيم اعمال نيك و بسيار اندكمان را به توان برسانيم تا به حساب آيند.

كاش آهنگ رو به افزايش حجم روز مرگي ها، به ما فرصت فكر كردن به خود را بدهد .

كاش راه راست را انتخاب كنيم ، كه اگر نكنيم يا به هدف نمي رسيم و يا ديرتر ميرسيم.

كاش لگاريتم كليه اعمالمان در مبناي رضاي خدا برود تا مقبول درگاهش واقع شود.

كاش لحظه هاي خوب مناجات را يك جا مي شد جمع كرد تا از دستشان ندهيم و فراموششان نكنيم.

كاش ...
2 نوشته شده در  شنبه دهم دی 1384ساعت 20:58  توسط علیرضا.م | 
مساله جالب رياضي
 

پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد. سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟

-> جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....
B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....
C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....
D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....
در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می باشد، میتواند اعلام کند
2 نوشته شده در  شنبه دهم دی 1384ساعت 20:51  توسط علیرضا.م | 
انسان از چه زماني ارقام عددي را بكار برد ؟

انجا كه بر ما معلوم است در حدود 3000 سال پيش از ميلاد مصريان  قديم ومردم بين النهرين(سرزمين بين دجله وفرات امروزيدر عراق)

علاماتي براي نوشتن اعداد داشتنداين مردمان با انكه بسيار از هم دور بودندهر مستقل موفق به اختراع يك رشته از ارقام شدند

ارقام ساده ي انها چون 1و2و3 المثنايچوب وچوبخط انسانهاي نخستين بود.جالب اينجاست كه در بسياري از دستگاههاي ارقام كه در سراسرجهان كشف

 شده است رقم يك را به صورت يك عدد كوتاه يا به شكل يك نقطه مي نوشتند..LLL=3  4=VI    5=V   
2 نوشته شده در  شنبه دهم دی 1384ساعت 20:49  توسط علیرضا.م |